Claude Obach naît le 23 octobre 1873 à Lyon (6^e arr.). Il est le fils de Françoise Claudine Roquelet, raccommodeuse de tulles, et de son époux Jean Marie Obach, ferblantier.

Comme son père et comme son frère aîné, Henri, Claude Obach est ferblantier. Il vit avec son père rue de Reuilly à Paris (12^e arr.) et épouse en octobre 1899 Marie Rosalie Germaine Dalquié, domestique. Ils auront trois enfants.

En novembre 1919, Claude Obach est candidat en treizième position sur la liste socialiste unifiée (SFIO) pour les élections municipales de Joinville-le-Pont (Seine, act. Val-de-Marne). Elle est conduite par Georges Laruelle, ancien conseiller municipal. Claude Obach recueille au premier tour 493 voix pour 1694 suffrages exprimés sur 1715 votants et 2491 inscrits (29,1%) ; il est crédité au second tour de 500 voix sur 1518 suffrages exprimés pour 1537 votants (32,9%). Les socialistes n’ont pas d’élus, la liste d’Henri Vel-Durand, qui comprend des radicaux dissidents, des radicaux-socialistes et des socialistes indépendants, emporte tous les sièges.

Lors de la constitution du bureau de la section SFIO de Joinville en février 1920, Obach est membre de la commission exécutive. André Flambard en est le secrétaire.

Claude Obach meurt probablement entre 1920 et 1922 dans un lieu inconnu. Il résidait probablement avenue Pauline, dans le quartier de Polangis. Sa veuve se remarie à Oran (Algérie), où elle vit avec sa fille cadette, en 1929.