Fils du vigneron Jean Cosson et de son épouse Marguerite, Alexandre Cosson naît à Mer (Loir-et-Cher) le 15 juillet 1831.

Cosson travaille comme tailleur de pierre et s’installe dans le 7^e arrondissement de Paris avant 1860. Il devient ensuite appareilleur et contribue notamment à l’extension de la gare Saint-Lazare à Paris en 1867. Il obtient en 1897 la Médaille d’honneur des ouvriers et employés.

En 1891, Alexandre Cosson s’est installé à Joinville-le-Pont où il se présente comme rentier. Il réside d’abord rue du Canal puis rue de Paris.

Il est élu conseiller municipal en 1896 sur la liste d’Eugène Voisin (radical-socialiste), qui n’a pas d’opposition. Il est réélu dès le 1^er tour sur la liste radicale-socialiste d’Eugène Voisin en 1900 avec 637 voix pour 1 096 inscrits ; il obtient le 7^e meilleur résultat de la liste, qui gagne les 23 sièges en jeu. En 1904, Cosson, toujours colistier radical-socialiste d’Eugène Voisin, fait partie des 15 conseillers sur 23 élus dès le 1^er tour, en 8^e position ; sa liste a 22 élus, contre un à une liste de droite. En 1908, Cosson est un des six membres élus dès le 1^er tour de la liste radicale-socialiste d’Eugène Voisin ; il a recueilli 669 voix pour 1 613 inscrits, le 5^e meilleur score ; la majorité sortante remporte 21 sièges sur 23.

Pendant son mandat de 16 ans (1896-1912), Cosson se consacre notamment aux œuvres scolaires et post-scolaires. À ce titre, il sera décoré des palmes académiques, étant fait officier d’académie en 1907.

Pendant la crise que rencontrent les radicaux joinvillais, à partir de 1906, Cosson se range derrière Eugène Voisin, avec la majorité des sortants qui seront battus en 1912 ; il est membre du comité radical-socialiste communal présidé par Georges Émile Briolay. Cosson est signalé comme malade en février 1911.

Marié avec Louise Céline Thibault, il en a deux filles ; après le décès de celle-ci en décembre 1862, il épouse à Paris en janvier 1865 Étiennette Mourel-Maillard, grainetière, originaire de Villers-Farlay (Jura). Sa femme est active dans la section de Joinville de la société de l’allaitement maternel et des refuges-ouvroirs entre 1909 et 1912 ; elle est distinguée par la société de l’encouragement au bien en 1911.

Alexandre Cosson décède à Joinville le 15 mars 1916, il est alors âgé de 84 ans,